フラクタル

pythonで複素数の練習を兼ねて
フラクタル図形を作ってみました。
マンデルブロ集合というものです。


フラクタルが何かについては専門書または他のサイトなどで調べてみてください。
マンデルブロ集合の定義は簡単な複素数漸化式で記述されます。
つまりマンデルブロ図形というのはある複素数cについて、

z(n+1) = z(n)*z(n) + c
z(0) = 0

とした場合、n→∞で発散するか否かを色分けして複素平面に表示したものです。

複素数平面の点をランダムに選び、n回漸化式を解いてz(n)を作ります。
その時の、
log |z(n)|
の値を画素の輝度値としました。
forループを2重に使うと時間がかかるので、numpy.arrayで一気に計算します。

m = 10000
c = numpy.random.uniform( -2.5,2.5,m ) + 1j * numpy.random.uniform( -2.5,2.5,m )
z = numpy.zeros( m, dtype=numpy.complex )
for i in range(16):
     z = z**2 + c

と言う感じです。

opencvを使って画像化します。
しかし、案外時間が掛かるので、zの漸化式計算と、画像化を分けて処理しました。

Mandelbrot set

30Mポイントのサンプリングをして、そこから画像化しましたが、埋め切れていません。画像を拡大してみるとポツポツと黒い点が見えます。
実は細くつながっています。が、データ点数（サンプリング）で埋め切れていないのと画像化の解像度が荒いため、つながっているようには見えません。